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7.3.3. Analisi lineare dinamica o statica

Indice interno

Norma

7.3.3.1. Analisi lineare dinamica (analisi modale con spettro di risposta)

L'analisi modale consiste nella determinazione dei modi di vibrare della struttura (analisi modale) e nel calcolo degli effetti dell'azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per ciascun modo di vibrare individuato (analisi spettrale).

Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all'85%.

Per la combinazione degli effetti relativi ai diversi modi deve essere utilizzata una combinazione quadratica completa (CQC) degli effetti relativi a ciascun modo, secondo l'espressione:

\[E = \left(\sum_i \sum_j \rho_{ij} \cdot E_i \cdot E_j\right)^{1/2} \tag{7.3.4}\]

con il coefficiente di correlazione \(\rho_{ij}\) calcolato come:

\[\rho_{ij} = \frac{8 \, \xi^2 \, \beta_{ij}^{3/2}}{(1 + \beta_{ij})[(1 - \beta_{ij})^2 + 4 \, \xi^2 \, \beta_{ij}]} \tag{7.3.5a}\]
\[\beta_{ij} = \frac{T_j}{T_i} \tag{7.3.5b}\]

dove \(\xi\) è il rapporto di smorzamento viscoso convenzionale e \(T_i\), \(T_j\) sono i periodi propri dei modi \(i\)-esimo e \(j\)-esimo.

7.3.3.2. Analisi lineare statica (forze laterali)

L'analisi statica lineare consiste nell'applicazione di forze statiche equivalenti alle forze di inerzia indotte dall'azione sismica.

Essa può essere effettuata per costruzioni che rispettino le condizioni di seguito indicate:

  • costruzioni regolari in altezza e il cui periodo del modo di vibrare principale \(T_1\) in ciascuna delle due direzioni non superi \(2{,}5 \cdot T_C\) oppure \(T_D\);
  • costruzioni il cui periodo del modo di vibrare principale non superi \(T_D\) e il cui modo di vibrare principale in ciascuna direzione abbia una massa partecipante non inferiore al 75%.

Il periodo fondamentale di vibrazione \(T_1\) della struttura può essere stimato, per gli edifici, mediante la formula:

\[T_1 = 2\sqrt{d} \tag{7.3.6}\]

dove \(d\) è lo spostamento laterale elastico del punto più alto dell'edificio, espresso in metri, dovuto alla gravità applicata in direzione orizzontale.

La forza da applicare a ciascuna massa della costruzione è data da:

\[F_i = F_h \cdot \frac{z_i \cdot W_i}{\sum_j z_j \cdot W_j} \tag{7.3.7}\]

dove:

  • \(F_h\) è la risultante delle forze orizzontali applicate alla costruzione, pari a \(F_h = S_d(T_1) \cdot W \cdot \lambda / g\);
  • \(S_d(T_1)\) è l'ordinata dello spettro di progetto corrispondente al periodo \(T_1\);
  • \(W\) è il peso complessivo della costruzione;
  • \(\lambda\) è un coefficiente pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre piani e se \(T_1 \leq 2T_C\), pari a 1,0 in tutti gli altri casi;
  • \(W_i\) è il peso della massa \(i\)-esima;
  • \(z_i\) è la quota della massa \(i\)-esima rispetto al piano di fondazione.

7.3.3.3. Valutazione degli spostamenti

Gli spostamenti \(d_E\) della struttura sotto l'azione sismica di progetto allo SLU si ottengono dagli spostamenti \(d_{Ee}\) forniti dall'analisi lineare, come:

\[d_E = \pm \mu_d \cdot d_{Ee} \tag{7.3.8}\]

dove \(\mu_d\) è il coefficiente di duttilità in spostamento, definito come:

\[\mu_d = q \quad \text{se} \; T_1 \geq T_C \tag{7.3.9}\]
\[\mu_d = 1 + (q - 1) \cdot \frac{T_C}{T_1} \quad \text{se} \; T_1 < T_C\]

dove \(q\) è il fattore di comportamento adottato e \(T_C\) è il periodo corrispondente all'inizio del tratto a velocità costante dello spettro.

Circolare

C7.3.3. Analisi lineare dinamica o statica

C7.3.3.1. Analisi lineare dinamica

L'analisi lineare dinamica, così come presentata nelle NTC, avviene in tre passi fondamentali:

1) determinazione dei modi di vibrare "naturali" della struttura (analisi modale); 2) calcolo degli effetti dell'azione sismica, rappresentati dallo spettro di risposta di progetto, per ciascuno dei modi di vibrare individuati; 3) combinazione degli effetti relativi a ciascun modo di vibrare per valutare la risposta complessiva.

L'analisi modale consiste nella soluzione delle equazioni del moto della struttura, considerata elastica, in condizioni di oscillazioni libere (assenza di forzante esterna) e nella individuazione di particolari configurazioni deformate che costituiscono i modi naturali di vibrare di una costruzione. Questi modi di vibrare sono una caratteristica propria della struttura, in quanto sono individuati in assenza di forzante, e sono caratterizzati da un periodo proprio di oscillazione \(T\) e da un fattore di smorzamento convenzionale \(\xi\), nonché da una forma. Tranne che per casi particolari, quali ad esempio quelli di costruzioni dotate di sistemi di isolamento e di dissipazione, si assume che i modi di vibrare abbiano tutti lo stesso valore del fattore di smorzamento convenzionale \(\xi\) ossia \(\xi = 5\%\). Qualunque configurazione deformata di una struttura (con la sola condizione di tale deformata connessa), può essere ottenuta come combinazione di deformate elementari, ciascuna con la forma di un modo di vibrare. Ovviamente, in funzione dell'azione che agisce sulla costruzione, alcuni modi di vibrare avranno una parte più significativa di altri in grado di descrivere la configurazione deformata. La massa partecipante a un modo di vibrare esprime la quota parte delle forze sismiche di trascinamento ad esso associate, da cui dipendono, unitamente alla corrispondente amplificazione, gli effetti che il singolo modo è in grado di descrivere. Per poter cogliere con sufficiente approssimazione gli effetti dell'azione sismica sulla costruzione, è opportuno considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all'85%, trascurando solo i modi di vibrare meno significativi in termini di massa partecipante. L'utilizzo dello spettro di risposta consente di calcolare gli effetti massimi del terremoto sulla costruzione associati a ciascun modo di vibrare. Tuttavia, poiché durante il terremoto gli effetti massimi associati ad un modo di vibrare non si verificano generalmente nello stesso istante in cui sono massimi quelli associati ad un altro modo di vibrare, tali effetti non possono essere combinati tra di loro mediante una semplice somma ma con specifiche regole di combinazione, di natura probabilistica, che tengono conto di questo sfasamento temporale. La regola di combinazione imposta dalla norma è la regola di combinazione quadratica completa CQC (Complete Quadratic Combination): tale regola porta in conto anche l'eventuale correlazione tra i modi, attraverso il fattore \(\rho_{ij}\). Essa degenera nella più semplice regola SRSS (Square Root of Sum of Squares), valida nell'ipotesi in cui i contributi massimi dei singoli modi non siano correlati e non si verifichino contemporaneamente. La SRSS può essere utilizzata, ove ritenuto necessario, come riferimento per il controllo dei risultati, tenendo presente che, in assenza di correlazione, la CQC degenera nella SRSS e che, in generale, quando il periodo di vibrazione di ciascun modo differisce di almeno il 10% da quello degli altri modi, le differenze tra le due diventano trascurabili.

C7.3.3.2. Analisi lineare statica

L'analisi lineare statica consiste sostanzialmente in un'analisi lineare dinamica semplificata in cui:

1) invece di effettuare l'analisi dinamica della costruzione si assume per essa un solo modo di vibrare principale avente un periodo \(T_1\) calcolato in maniera approssimata (utilizzando l'espressione [7.3.6] delle NTC) e spostamenti linearmente crescenti con l'altezza dal piano di fondazione, cui corrisponde la distribuzione di forze statiche data dall'espressione [7.3.7] delle NTC. A questo modo di vibrare si associa un'aliquota \(\lambda\) di massa partecipante pari a 0,85 se la costruzione ha almeno tre orizzontamenti e se \(T_1 < 2T_C\), pari a 1,0 in tutti gli altri casi; 2) si calcolano gli effetti dell'azione sismica, rappresentata dallo spettro di risposta di progetto, per il modo di vibrare principale considerato; 3) non si effettua alcuna combinazione degli effetti in quanto non si considerano altri modi di vibrare.

In letteratura e nei diversi documenti tecnici di riferimento esistono espressioni più o meno semplici per determinare, in maniera approssimata, il periodo del primo modo di vibrare della struttura, in ciascuna delle due direzioni principali.

L'equazione [7.3.6] della norma porta in conto, in maniera indiretta, l'effettiva rigidezza laterale della struttura e risulta, pertanto, più affidabile rispetto ad altre formulazioni più semplici, basate unicamente sul numero di piani o sull'altezza complessiva della costruzione, ma richiede necessariamente un modello di calcolo e un'analisi statica specifica.

Dipende dalla finalità il grado di approssimazione da conseguire nella determinazione del periodo \(T_1\), cui è legata la risposta spettrale e quindi l'entità delle forze statiche equivalenti. In via di prima approssimazione, si può utilizzare la seguente espressione semplificata:

\[T_1 = C_1 H^{3/4} \tag{C7.3.2}\]

dove \(H\) è l'altezza della costruzione, in metri, dal piano di fondazione e \(C_1\) vale 0,085 per costruzioni con struttura a telaio di acciaio o di legno, 0,075 per costruzioni con struttura a telaio di calcestruzzo armato e 0,050 per costruzioni di muratura o per qualsiasi altro tipo di struttura.